向量加法（Vector Addition）#

数学定义：对于 $n$ 维向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$，其和定义为：

几何解释：

• 平行四边形法则：$\vec{u} + \vec{v}$ 是以 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 为邻边的平行四边形的对角线
• 三角形法则：将 $\vec{v}$ 的起点放在 $\vec{u}$ 的终点，连接 $\vec{u}$ 的起点和 $\vec{v}$ 的终点

代数性质：

• 交换律：$\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• 结合律：$(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
• 零元素：$\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
• 逆元素：$\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$

GAMES101 项目实现：

1
// Eigen 库中的向量加法
2
Eigen::Vector3f u(1.0f, 2.0f, 3.0f);
3
Eigen::Vector3f v(4.0f, 5.0f, 6.0f);
4
Eigen::Vector3f result = u + v;  // (5, 7, 9)
5

6
// 在光栅化中的应用：顶点位置变换
7
Eigen::Vector3f vertex_position = base_position + displacement;

向量数乘（Scalar Multiplication）#

数学定义：对于标量 $k \in \mathbb{R}$ 和向量 $\vec{v} \in \mathbb{R}^n$：

几何效果分析：

• $k > 1$：向量伸长 $k$ 倍，方向不变
• $0 < k < 1$：向量缩短为原长度的 $k$ 倍，方向不变
• $k = 0$：得到零向量
• $k < 0$：向量反向并缩放 $|k|$ 倍

重要应用：

• 单位向量计算：$\hat{v} = \frac{1}{\|\vec{v}\|}\vec{v}$
• 缩放变换：在几何变换中实现物体的放大缩小
• 插值计算：线性插值 $\vec{p}(t) = (1-t)\vec{p_0} + t\vec{p_1}$

点积（内积 / 数量积）#

数学定义：对于向量 $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^n$，点积定义为：

几何形式：

其中 $\theta$ 是两向量间的夹角 $(0 \leq \theta \leq \pi)$。

几何意义深度解析：

• 投影解释：$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$
• 标量结果：点积的结果是标量，不是向量
• 角度计算：$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|}$

重要代数性质：

• 交换律：$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• 分配律：$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$
• 结合律：$(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
• 正定性：$\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0$，等号成立当且仅当 $\vec{u} = \vec{0}$

几何判断准则：

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}$（垂直判断）
• $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0 \iff \theta < 90°$（锐角）
• $\vec{u} \cdot \vec{v} < 0 \iff \theta > 90°$（钝角）

GAMES101 项目中的关键应用：

1
// 1. 计算两向量夹角
2
float dot_product = u.dot(v);
3
float angle = std::acos(std::clamp(dot_product / (u.norm() * v.norm()), -1.0f, 1.0f));
4

5
// 2. 光照计算中的 Lambert 余弦定律
6
float cos_theta = std::max(0.0f, normal.dot(light_direction));
7
Vector3f diffuse_color = albedo * light_color * cos_theta;
8

9
// 3. 视锥体裁剪中的平面测试
10
float distance_to_plane = point.dot(plane_normal) + plane_d;
11
bool is_inside = distance_to_plane >= 0;
12

13
// 4. 背面剔除
14
Vector3f view_direction = camera_position - vertex_position;
15
bool is_front_facing = face_normal.dot(view_direction) > 0;

叉积（外积 / 向量积）#

数学定义：对于三维向量 $\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3$，叉积定义为：

行列式表示：叉积可以表示为形式行列式：

几何意义深度解析：

• 方向：遵循右手定则，垂直于 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 构成的平面
• 大小：$\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \sin\theta$
• 面积解释：$\|\vec{u} \times \vec{v}\|$ 等于以 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 为邻边的平行四边形面积

重要代数性质：

• 反交换律：$\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$
• 分配律：$\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$
• 标量结合律：$(k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v}) = \vec{u} \times (k\vec{v})$
• 平行判断：$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u} \parallel \vec{v}$
• 垂直性：$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0$ 且 $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v} = 0$

标量三重积：

表示以三个向量为邻边的平行六面体的有向体积。

GAMES101 项目中的核心应用：

1
// 1. 计算三角形法向量（Assignment 2/3 中的关键操作）
2
Eigen::Vector3f edge1 = vertex2 - vertex1;
3
Eigen::Vector3f edge2 = vertex3 - vertex1;
4
Eigen::Vector3f normal = edge1.cross(edge2).normalized();
5

6
// 2. 判断点在三角形内部（重心坐标计算的基础）
7
Vector3f v0 = C - A, v1 = B - A, v2 = P - A;
8
Vector3f cross1 = v0.cross(v1);  // 三角形面积向量
9
Vector3f cross2 = v0.cross(v2);  // 子三角形面积向量
10
float area_ratio = cross2.dot(cross1) / cross1.squaredNorm();
11

12
// 3. 构建坐标系（相机变换中的应用）
13
Vector3f forward = (target - eye).normalized();
14
Vector3f right = forward.cross(up).normalized();
15
Vector3f camera_up = right.cross(forward);
16

17
// 4. 计算三角形面积
18
float triangle_area = 0.5f * edge1.cross(edge2).norm();

单位矩阵（Identity Matrix）#

定义：$n \times n$ 单位矩阵 $I_n$ 定义为对角线元素为 1、其他元素为 0 的矩阵：

基本性质：

• 乘法单位元：$AI = IA = A$（当维度匹配时）
• 几何意义：恒等变换，不改变任何向量
• 特征值：所有特征值都是 1

转置矩阵（Transpose Matrix）#

定义：矩阵 $A$ 的转置 $A^T$ 定义为：$(A^T)_{ij} = A_{ji}$

重要性质：

• 对合性：$(A^T)^T = A$
• 乘积转置：$(AB)^T = B^T A^T$
• 和的转置：$(A + B)^T = A^T + B^T$
• 标量乘法：$(kA)^T = kA^T$

几何意义：

• 对于旋转矩阵：$R^T = R^{-1}$（正交矩阵性质）
• 反映了线性变换的「逆向」操作

逆矩阵（Inverse Matrix）#

定义：对于方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，如果存在矩阵 $A^{-1}$ 使得：

则称 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵。

存在性条件：

• 行列式非零：$\det(A) \neq 0$
• 满秩条件：$\text{rank}(A) = n$
• $A$ 的列向量线性无关

计算方法：

1. 伴随矩阵法：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$
2. 高斯-约旦消元法：$[A|I] \to [I|A^{-1}]$
3. LU 分解法：适用于大型矩阵

重要性质：

• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
• $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

齐次坐标的数学基础#

引入动机：

1. 统一变换表示：将平移、旋转、缩放等变换统一为矩阵乘法
2. 透视投影简化：用线性代数处理非线性的透视除法
3. 变换复合：多个变换的复合简化为矩阵乘法
4. 无穷远点表示：优雅地处理平行线相交于无穷远点

齐次坐标的数学定义：对于 $n$ 维欧几里得空间中的点，其齐次坐标是 $(n+1)$ 维向量。齐次坐标 $(x, y, z, w)$ 对应笛卡尔坐标 $(x/w, y/w, z/w)$，其中 $w \neq 0$。

齐次坐标的分类：

• 点的表示：$(x, y, z, 1)$ — 第四个分量为 1
• 向量的表示：$(x, y, z, 0)$ — 第四个分量为 0
• 无穷远点：$(x, y, z, 0)$ 且 $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$

齐次坐标的等价性：所有非零标量倍数表示同一个点：

齐次坐标的运算规则#

点与向量的区别：

仿射组合：对于点 $P_i = (x_i, y_i, z_i, 1)$，其仿射组合为：

当 $\sum_i \alpha_i = 1$ 时，结果是有效的点。

GAMES101 项目中的实际应用#

变换矩阵的统一表示：

1
// 不使用齐次坐标的变换（需要分别处理）
2
Vector3f transformed_point = rotation_matrix * point + translation_vector;
3
Vector3f transformed_vector = rotation_matrix * vector;  // 向量不受平移影响
4

5
// 使用齐次坐标的统一变换
6
Matrix4f transformation = translation * rotation * scaling;
7
Vector4f homogeneous_point(point.x, point.y, point.z, 1.0f);
8
Vector4f homogeneous_vector(vector.x, vector.y, vector.z, 0.0f);
9

10
Vector4f transformed_point  = transformation * homogeneous_point;
11
Vector4f transformed_vector = transformation * homogeneous_vector;
12

13
// 转换回笛卡尔坐标
14
Vector3f result_point  = transformed_point.head<3>() / transformed_point.w();
15
Vector3f result_vector = transformed_vector.head<3>();  // w 分量为 0，不需要除法

MVP 变换链的实现：

1
// Assignment 1 中的核心变换
2
Matrix4f mvp = projection * view * model;
3

4
for (auto& vertex : vertices) {
5
    Vector4f clip_coord = mvp * Vector4f(vertex.x, vertex.y, vertex.z, 1.0f);
6

7
    // 透视除法（齐次坐标到 NDC）
8
    Vector3f ndc_coord = clip_coord.head<3>() / clip_coord.w();
9

10
    // 视口变换
11
    Vector3f screen_coord = viewport_transform * ndc_coord;
12
}

缩放变换（Scaling Transform）#

数学定义：

齐次坐标矩阵表示：

几何效果分析：

• 均匀缩放：$s_x = s_y = s_z = s$
  • $s > 1$ 放大、$0 < s < 1$ 缩小、$s = 1$ 恒等
• 非均匀缩放：改变物体的长宽高比例，可能导致圆变椭圆等形变
• 反射缩放：某 $s_i < 0$ 时沿该轴反射

重要性质：

• 可逆性：$S^{-1}(s_x, s_y, s_z) = S(1/s_x, 1/s_y, 1/s_z)$
• 行列式：$\det(S) = s_x s_y s_z$（体积缩放因子）
• 对角元素 $s_x, s_y, s_z$ 就是特征值
• 缩放矩阵之间满足交换律

GAMES101 项目实现：

1
Eigen::Matrix4f create_scaling_matrix(float sx, float sy, float sz) {
2
    Eigen::Matrix4f scaling = Eigen::Matrix4f::Identity();
3
    scaling(0, 0) = sx;
4
    scaling(1, 1) = sy;
5
    scaling(2, 2) = sz;
6
    return scaling;
7
}
8

9
// 应用示例：在 Assignment 1 中缩放三角形
10
Matrix4f model = create_scaling_matrix(1.5f, 1.5f, 1.5f);  // 放大 1.5 倍
11
for (auto& vertex : triangle_vertices) {
12
    Vector4f scaled_vertex = model * Vector4f(vertex.x, vertex.y, vertex.z, 1.0f);
13
    vertex = scaled_vertex.head<3>();
14
}

旋转变换（Rotation Transform）#

绕坐标轴旋转的数学推导#

绕 Z 轴旋转的详细推导：设点 $P(x, y)$ 绕原点逆时针旋转角度 $\theta$ 到点 $P'(x', y')$。

极坐标方法：将点 $P$ 表示为极坐标形式 $P: (r\cos\phi, r\sin\phi)$，$P': (r\cos(\phi + \theta), r\sin(\phi + \theta))$。

利用三角恒等式：

矩阵形式：

其他坐标轴旋转：

WARNING

注意 $R_y$ 中 $\sin\theta$ 的符号与 $R_x, R_z$ 相反，这是因为右手坐标系下 y 轴与其他两轴的位置关系决定的。

旋转矩阵的重要性质：

• 正交性：$R^T R = I$，即 $R^{-1} = R^T$
• 行列式：$\det(R) = 1$（保持定向）
• 长度保持：$\|R\vec{v}\| = \|\vec{v}\|$
• 角度保持：$\vec{u} \cdot \vec{v} = (R\vec{u}) \cdot (R\vec{v})$

GAMES101 Assignment 1 实现：

1
Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle) {
2
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();
3

4
    // 角度转弧度
5
    float angle_rad = rotation_angle * MY_PI / 180.0f;
6
    float cos_a = std::cos(angle_rad);
7
    float sin_a = std::sin(angle_rad);
8

9
    // 绕 Z 轴旋转矩阵
10
    model(0, 0) = cos_a;  model(0, 1) = -sin_a;
11
    model(1, 0) = sin_a;  model(1, 1) =  cos_a;
12

13
    return model;
14
}

任意轴旋转（Rodrigues 旋转公式）#

问题描述：给定单位向量 $\vec{n}$ 和角度 $\theta$，求绕轴 $\vec{n}$ 旋转 $\theta$ 角度的旋转矩阵。

Rodrigues 公式（向量形式）：

矩阵形式：

其中反对称矩阵（叉积矩阵）：

公式的几何意义：

• $\vec{n}\vec{n}^T(1-\cos\theta)$：向量在旋转轴上的投影分量（不变部分）
• $I\cos\theta$：垂直于旋转轴的分量的余弦部分
• $[\vec{n}]_{\times}\sin\theta$：垂直于旋转轴的分量的正弦部分

推导过程：

1. 将向量 $\vec{v}$ 分解为平行和垂直于 $\vec{n}$ 的分量：$\vec{v} = \vec{v}_{\parallel} + \vec{v}_{\perp}$，其中 $\vec{v}_{\parallel} = (\vec{v} \cdot \vec{n})\vec{n}$
2. 平行分量不受旋转影响：$\vec{v}_{\parallel}' = \vec{v}_{\parallel}$
3. 垂直分量在垂直于 $\vec{n}$ 的平面内旋转：$\vec{v}_{\perp}' = \vec{v}_{\perp}\cos\theta + (\vec{n} \times \vec{v}_{\perp})\sin\theta$

GAMES101 项目实现：

1
Eigen::Matrix4f get_rotation(Vector3f axis, float angle) {
2
    // 确保轴向量为单位向量
3
    axis.normalize();
4
    float theta = angle * MY_PI / 180.0f;
5

6
    // 构建 3x3 旋转矩阵
7
    Eigen::Matrix3f I = Eigen::Matrix3f::Identity();
8

9
    // 反对称矩阵 [n]×
10
    Eigen::Matrix3f N;
11
    N <<         0, -axis[2],  axis[1],
12
          axis[2],        0, -axis[0],
13
         -axis[1],  axis[0],        0;
14

15
    // 外积矩阵 nnᵀ
16
    Eigen::Matrix3f nnT = axis * axis.transpose();
17

18
    // Rodrigues 公式
19
    Eigen::Matrix3f R = I * std::cos(theta)
20
                      + N * std::sin(theta)
21
                      + nnT * (1 - std::cos(theta));
22

23
    // 扩展为 4x4 齐次矩阵
24
    Eigen::Matrix4f rotation_matrix = Eigen::Matrix4f::Identity();
25
    rotation_matrix.block<3, 3>(0, 0) = R;
26
    return rotation_matrix;
27
}

特殊情况验证：

• 当 $\vec{n} = (0, 0, 1)$ 时，退化为绕 Z 轴旋转
• 当 $\theta = 0$ 时，$R = I$（恒等变换）
• 当 $\theta = \pi$ 时，$R = 2\vec{n}\vec{n}^T - I$（关于轴的 180° 旋转）

仿射变换的严格定义#

数学定义：仿射变换是线性变换与平移的复合：

其中 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是线性变换矩阵，$\vec{b} \in \mathbb{R}^n$ 是平移向量。

点与向量的变换：

• 点的变换：$P' = AP + \vec{b}$
• 向量的变换：$\vec{v}' = A\vec{v}$（向量不受平移影响）

仿射变换的几何性质#

保持性质（不变量）：

1. 直线性保持：直线 $L: \vec{p}(t) = \vec{p_0} + t\vec{d}$ 变换后仍为直线
2. 平行性保持：平行直线变换后仍平行
3. 比例保持：线段上的比例关系保持不变
4. 重心保持：点集的重心变换后仍为变换后点集的重心

不保持的性质：

• 长度（除非 $A$ 是正交矩阵）
• 角度（除非 $A$ 是相似变换）
• 面积 / 体积（缩放因子为 $\|\det(A)\|$）

仿射变换的分类#

任何仿射变换都可以分解为基本变换的复合：$T = T_{\text{trans}} \circ T_{\text{rot}} \circ T_{\text{scale}} \circ T_{\text{shear}}$。

平移变换的数学本质#

为什么平移不是线性变换：线性变换必须满足 $T(\vec{0}) = \vec{0}$，但平移 $T(\vec{v}) = \vec{v} + \vec{t}$ 有：

齐次坐标中的平移表示#

齐次坐标矩阵：

向量与点的区别：

• 点的平移：$(x, y, z, 1) \to (x+t_x, y+t_y, z+t_z, 1)$
• 向量的平移：$(x, y, z, 0) \to (x, y, z, 0)$（不受平移影响）

平移变换的群性质#

平移变换构成一个交换群 $(T, \circ)$：

1. 封闭性：$T(\vec{a}) \circ T(\vec{b}) = T(\vec{a} + \vec{b})$
2. 结合律、单位元 $T(\vec{0})$、逆元 $T(\vec{a})^{-1} = T(-\vec{a})$
3. 交换律：$T(\vec{a}) \circ T(\vec{b}) = T(\vec{b}) \circ T(\vec{a})$

GAMES101 项目中的应用#

1
Eigen::Matrix4f create_translation_matrix(float tx, float ty, float tz) {
2
    Eigen::Matrix4f translation = Eigen::Matrix4f::Identity();
3
    translation(0, 3) = tx;
4
    translation(1, 3) = ty;
5
    translation(2, 3) = tz;
6
    return translation;
7
}
8

9
// Assignment 1 中的视图变换
10
Eigen::Matrix4f get_view_matrix(Eigen::Vector3f eye_pos) {
11
    Eigen::Matrix4f view = Eigen::Matrix4f::Identity();
12
    // 平移到原点（相机位置的逆变换）
13
    Eigen::Matrix4f translate = create_translation_matrix(-eye_pos[0], -eye_pos[1], -eye_pos[2]);
14
    view = translate * view;
15
    return view;
16
}

变换复合的基本原理#

对于变换 $T_1, T_2, T_3$：

在齐次坐标中对应矩阵乘法：$T_3 \circ T_2 \circ T_1 \longleftrightarrow M_3 M_2 M_1$

WARNING

矩阵乘法的顺序与变换应用顺序相反！变换顺序是 $T_1 \to T_2 \to T_3$，矩阵乘法顺序是 $M_3 M_2 M_1$。

变换顺序的重要性#

非交换性示例：考虑平移 $T(1, 0, 0)$ 和绕 Z 轴旋转 $90°$：

• 先平移后旋转：$R_{90°} \circ T(1,0,0): (0,0,0) \to (1,0,0) \to (0,1,0)$
• 先旋转后平移：$T(1,0,0) \circ R_{90°}: (0,0,0) \to (0,0,0) \to (1,0,0)$

结果不同！

标准变换序列（SRT 分解）#

为什么采用 SRT 顺序：

1. Scale：在局部坐标系中进行，不影响物体朝向
2. Rotate：在缩放后的坐标系中进行，保持物体形状
3. Translate：最后移动到世界坐标系中的目标位置

1
// 错误顺序：RST（缩放会影响已旋转的物体，可能导致非均匀拉伸）
2
Matrix4f wrong_order = T * S * R;
3

4
// 正确顺序：SRT
5
Matrix4f correct_order = T * R * S;

图形学中的变换链#

完整的 MVP 变换链：

复杂物体的变换分解：

1
Matrix4f create_complex_transform(Vector3f scale,
2
                                  Vector3f rotation_angles,
3
                                  Vector3f translation) {
4
    // 1. 创建基本变换矩阵
5
    Matrix4f S  = create_scaling_matrix(scale.x, scale.y, scale.z);
6
    Matrix4f Rx = create_rotation_x(rotation_angles.x);
7
    Matrix4f Ry = create_rotation_y(rotation_angles.y);
8
    Matrix4f Rz = create_rotation_z(rotation_angles.z);
9
    Matrix4f T  = create_translation_matrix(translation.x, translation.y, translation.z);
10

11
    // 2. 按 SRT 顺序复合（旋转顺序：X → Y → Z）
12
    Matrix4f R = Rz * Ry * Rx;
13
    Matrix4f transform = T * R * S;
14
    return transform;
15
}

📌 几种特殊 $\mathbf{M}$ 下的法向量矩阵（完整讨论）#

情况 1：正交矩阵（纯旋转）

若 $\mathbf{M}$ 是正交矩阵（旋转），则 $\mathbf{M}^{-1} = \mathbf{M}^T$，于是：

结论：纯旋转下可以直接用模型矩阵变换法向量。

情况 2：均匀缩放

若 $\mathbf{M} = s\mathbf{I}$，则 $\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{s}\mathbf{I}$，于是：

结论：法向量长度缩小 $1/s$ 倍，方向不变。实际使用时再做一次归一化，所以和直接用 $\mathbf{M}$ 等价。

情况 3：非均匀缩放

若 $\mathbf{M} = \text{diag}(s_x, s_y, s_z)$，则：

结论：各分量取倒数，方向会被显著改变——这是非均匀缩放下必须用逆转置的根本原因。

情况 4：刚体变换（旋转 + 平移）

平移不影响线性部分的 $3\times 3$ 子矩阵，法向量变换只看旋转部分。取 $\mathbf{M}$ 左上角 $3\times 3$ 的逆转置即可。

透视投影的几何基础#

标准设置：

• 视点位于坐标原点：$E = (0, 0, 0)$
• 投影平面垂直于 Z 轴：$\Pi: z = -d$（$d > 0$）
• 观察方向沿负 Z 轴方向

相似三角形推导#

对于空间中的点 $P(x, y, z)$（其中 $z < 0$），从视点向 $P$ 发出的射线与投影平面的交点 $P'(x', y', -d)$ 满足：