柯西交错定理的证明

一、定理陈述

柯西交错定理： 设 $A=\begin{bmatrix}a & y^{*} \ y & B\end{bmatrix}$ 是 $n$ 阶 Hermitian 矩阵，$B$ 是 $A$ 的 $n - 1$ 阶主子矩阵，$\mu_{2} \leq \mu_{3} \leq \cdots \leq \mu_{n}$ 是 $B$ 的特征值，$\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda_{n} \leq \mu_{n} \leq \lambda_{n - 1} \leq \mu_{n - 1} \leq \cdots \leq \lambda_{2} \leq \mu_{2} \leq \lambda_{1}$。

二、证明过程

（一）特殊情况证明（$\mu_{n}<\mu_{n - 1}<\cdots<\mu_{3}<\mu_{2}$ 且 $z_{i} \neq 0$，$i = 2,3,\cdots,n$）

1. 酉矩阵的构造
   • 通过同时置换 $A$ 的行和列（若必要），假设子矩阵 $B$ 占据 $A$ 的第 $2,3,\cdots,n$ 行和列，即 $A=\begin{bmatrix}a & y^{*} \ y & B\end{bmatrix}$。
   • 因为 $B$ 是 Hermitian 矩阵，存在 $n - 1$ 阶酉矩阵 $U$ 使得 $U^{} B U = D$，其中 $D=\text{diag}(\mu_{2},\mu_{3},\cdots,\mu_{n})$。设 $U^{} y = z=(z_{2},z_{3},\cdots,z_{n})^{T}$。
   • 构造酉矩阵 $V=\begin{bmatrix}1 & 0^{T} \ 0 & U\end{bmatrix}$，则 $V^{} A V=\begin{bmatrix}a & z^{} \ z & D\end{bmatrix}$。
2. 行列式变换
   • 首先，对 $V^{*} A V$ 的行列式变换进行说明：
     • 酉矩阵的性质：
       • $V$ 是酉矩阵，满足 $V^{}V = VV^{}=I$，其中 $V^{*}$ 是 $V$ 的共轭转置，$I$ 是单位矩阵。
     • 相似矩阵的行列式性质：
       • 对于任意方阵 $A$ 和可逆矩阵 $P$，有 $\text{det}(P^{-1}AP)=\text{det}(A)$。
       • 在此处，$V$ 是酉矩阵，$V^{*}=V^{-1}$。
       • 所以 $V^{}AV$ 和 $A$ 是相似矩阵，根据相似矩阵的行列式性质，$\text{det}(xI - A)=\text{det}(xI - V^{}AV)$。具体而言，设 $y = xI - A$，$z = xI - V^{}AV$，则 $z = V^{}(xI - A)V = V^{*}yV$。
       • 由于 $\text{det}(V^{}yV)=\text{det}(V^{})\text{det}(y)\text{det}(V)$，且 $\text{det}(V^{})=\overline{\text{det}(V)}$ 以及 $\text{det}(V)\overline{\text{det}(V)} = 1$（酉矩阵性质），所以 $\text{det}(V^{}yV)=\text{det}(y)$，即 $\text{det}(xI - A)=\text{det}(xI - V^{*}AV)$。
   • 然后将 $\text{det}(xI - V^{*} A V)$ 沿第一行展开得到：
     • $f(x)=(x - a)(x-\mu_{2}) \cdots(x-\mu_{n})-\sum_{i = 2}^{n} f_{i}(x)$
     • 其中 $f_{i}(x)=\vert z_{i}\vert^{2}(x-\mu_{2}) \cdots(x\widehat{-}\mu_{i}) \cdots(x-\mu_{n})$（$i = 2,3,\cdots,n$），这里 $(x\widehat{-}\mu_{i})$ 表示去掉 $(x - \mu_{i})$ 这一项。
3. $f_{i}(x)$ 正负性质的判断
   • 分析 $f_{i}(x)$ 的值可知：
     • 当 $j \neq i$ 时，$f_{i}(\mu_{j}) = 0$。
     • 当 $i$ 为偶数时，$f_{i}(\mu_{i})>0$；当 $i$ 为奇数时，$f_{i}(\mu_{i})<0$。其原因如下：
       • 当 $i$ 为奇数时，考虑 $f_{i}(\mu_{i})=\vert z_{i}\vert^{2}(\mu_{i} - \mu_{2})\cdots(\mu_{i} - \mu_{i - 1})(\mu_{i} - \mu_{i + 1})\cdots(\mu_{i} - \mu_{n})$ 这一乘积：
         • 对于这一乘积：
           • 当 $i$ 为奇数时，$\mu_{i}$ 小于它前面的偶数位置的 $\mu_{j}$（$j < i$ 且 $j$ 为偶数），所以 $(\mu_{i} - \mu_{j})<0$（$j < i$ 且 $j$ 为偶数）。
           • 同时，$\mu_{i}$ 大于它后面的偶数位置的 $\mu_{k}$（$k > i$ 且 $k$ 为偶数），所以 $(\mu_{i} - \mu_{k})<0$（$k > i$ 且 $k$ 为偶数）。
           • 而对于奇数位置的 $\mu_{l}$（$l\neq i$），$(\mu_{i} - \mu_{l})$ 的正负情况交替出现，但总体乘积的符号由偶数位置的 $\mu$ 决定。
         • 因为有偶数个 $(\mu_{i} - \mu_{j})<0$（$j$ 为偶数且 $j\neq i$），所以 $(\mu_{i} - \mu_{2})\cdots(\mu_{i} - \mu_{i - 1})(\mu_{i} - \mu_{i + 1})\cdots(\mu_{i} - \mu_{n})<0$。
         • 又因为 $\vert z_{i}\vert^{2}>0$，所以 $f_{i}(\mu_{i})=\vert z_{i}\vert^{2}(\mu_{i} - \mu_{2})\cdots(\mu_{i} - \mu_{i - 1})(\mu_{i} - \mu_{i + 1})\cdots(\mu_{i} - \mu_{n})<0$。
   • 进而得到 $f(\mu_{i})$ 的正负性：
     • 当 $i$ 为偶数时，$f(\mu_{i})<0$；当 $i$ 为奇数时，$f(\mu_{i})>0$（$i = 2,3,\cdots,n$）。
4. 根的讨论
   • 由于 $f(x)$ 是首项系数为正的 $n$ 次多项式，根据中间值定理可知方程 $f(x)=0$ 存在 $n$ 个根 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$，使得 $\lambda_{n}<\mu_{n}<\lambda_{n - 1}<\mu_{n - 1}<\cdots<\lambda_{2}<\mu_{2}<\lambda_{1}$。

（二）一般情况证明

1. 构造趋近矩阵
   • 设 $\epsilon_{1},\epsilon_{2},\cdots$ 是一列正实数，满足 $\epsilon_{k} \downarrow 0$，$z_{i}+\epsilon_{k} \neq 0$（$i = 2,3,\cdots,n$；$k = 1,2,\cdots$）且 $D+\epsilon_{k}\text{diag}(2,3,\cdots,n)$ 的对角元对固定的 $k$ 是不同的。
   • 对 $k = 1,2,\cdots$，定义 $C_{k}=\begin{bmatrix}a & z(\epsilon_{k})^{} \ z(\epsilon_{k}) & D(\epsilon_{k})\end{bmatrix}$，其中 $z(\epsilon_{k})=z+\epsilon_{k}(1,1,\cdots,1)^{T}$，$D(\epsilon_{k})=D+\epsilon_{k}\text{diag}(2,3,\cdots,n)$，且 $A_{k}=V C_{k} V^{}$，则 $A_{k}$ 是 Hermitian 矩阵且 $A_{k} \to A$。
2. 特征值关系
   • 设 $\lambda_{n}^{(k)} \leq\lambda_{n - 1}^{(k)} \leq\cdots \leq\lambda_{2}^{(k)} \leq\lambda_{1}^{(k)}$ 是 $A_{k}$ 的特征值，则 $\lambda_{n}^{(k)}<\mu_{n}+n\epsilon_{k}<\lambda_{n - 1}^{(k)}<\mu_{n - 1}+(n - 1)\epsilon_{k}<\cdots<\lambda_{2}^{(k)}<\mu_{2}+2\epsilon_{k}<\lambda_{1}^{(k)}$。
3. 极限情况
   • 因为 $\lambda_{n}^{(k)},\lambda_{n - 1}^{(k)},\cdots,\lambda_{1}^{(k)}$ 是 $\text{det}(xI - A_{k}) = 0$ 的 $n$ 个不同根且 $y=\text{det}(xI - A_{k})$ 的图像与 $y=\text{det}(xI - A)$ 的图像充分接近，所以 $(\lambda_{n}^{(k)},\lambda_{n - 1}^{(k)},\cdots,\lambda_{1}^{(k)}) \to (\lambda_{n},\lambda_{n - 1},\cdots,\lambda_{1})$，证明完成。

通过以上特殊情况和一般情况的证明，柯西交错定理得证。